I cammelli e gli eredi

Un cammelliere, padre di quattro figli maschi, muore e lascia loro in eredità i suoi 39 cammelli. Egli ha stabilito nel testamento che l’eredità va così ripartita: metà al primo figlio, un quarto al secondo, un ottavo al terzo e un decimo al quarto. Seppellito il padre, i quattro fratelli calcolano il numero di cammelli spettante a ciascuno, ma non potendo frazionare le povere bestie, non riescono a trovare una soluzione accettabile. Viene il tramonto e mentre ancora discutono sul da farsi, sopraggiunge uno straniero con un cammello. Incuriosito dalla loro animazione egli si ferma, li ascolta attentamente e infine rivela di avere una semplice soluzione per il loro problema. Aggiunge il proprio cammello ai 39 ereditati, ottenendo in tutto 40 cammelli. Ne consegna metà (20) al primo, un quarto (10) al secondo, un ottavo (5) al terzo e un decimo (4) al quarto. In tutto (20+10+5+4) 39 cammelli. Ne avanza uno, e visto che è proprio il suo, gli monta in groppa e se ne va per la propria strada, salutando gli esterrefatti fratelli. Il fratello maggiore non smette di pensare: egli ha ricevuto 20 cammelli, cioè più della metà dei 39 lasciati in eredità dal padre. Inevitabilmente qualche suo fratello deve averci rimesso, invece anche gli altri tre hanno ottenuto qualcosa in più e l’intera eredità è stata divisa: come è possibile?

Sommare le frazioni di eredità indicate nel testamento…
Soluzione

I cammelli e gli eredi

La somma delle frazioni indicate nel testamento non è uguale a uno. Se sottraiamo al numero totale dei cammelli la somma delle frazioni di eredità otteniamo:

39 – 39 * (1/2+1/4+1/8+1/10) =  39/40

questo resto (l’apparente vantaggio notato dagli eredi) va anch’esso distribuito in modo proporzionale, quindi occorre ripetere il procedimento:

39/40 – 39/40 * (1/2+1/4+1/8+1/10) = 39/1600

 e così via, ottenendo una frazione continua convergente. Dopo tre passaggi restano da dividere soltanto i ciuffi di qualche coda:

 39/2 + 39/80 + 39/3200 ….  = 19,999… (20)

39/4 + 39/160 +39/6400 …. = 9,999… (10)

39/8 + 39/320 + 39/12800 ….  = 4,999… (5)

39/10 + 39/400 +39/16000 …. = 3,999… (4)